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Funciones trigonométricas

Para entender bien que son las funciones trigonométricas partimos del hecho de que la razón (es decir la división) entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tiene un ángulo agudo β, siempre da el mismo resultado (Esto es válido por el teorema de semejanza).

Las funciones trigonométricas, también llamadas razones trigonométricas, se obtienen de dividir todas las parejas de los lados del triángulo, a estas divisiones los matemáticos decidieron darles unos nombres un poco raros, seno, coseno, tangente y sus inversas cosecante, secante y cotangente.

Los lados del triangulo rectángulo de la figura a₁, b₁ y c₁ con respecto al ángulo β reciben los siguientes nombres

a₁: Hipotenusa (El lado al frente del ángulo recto)

b₁: Cateto opuesto (Por estar opuesto al ángulo β)

c₁: Cateto adyascente (Por estar junto al ángulo β)

Definimos las funciones trigonométricas asi:

Seno de β = senβ = b₁/a₁

Coseno de β = cosβ = c₁/a₁

Tangente de β = tanβ = b₁/c₁

Y las funciones trigonométricas inversas se definen así

Cosecante de β = cscβ = a₁/b₁

Secante de β = secβ = a₁/c₁

Cotangente de β = cotβ = c₁/b₁

¿Para que sirven las funciones trigonométricas? Podemos resolver situaciones como la que se describe en el siguiente ejemplo

Problema de aplicación de funciones trigonométricas:

Una escalera de 3 metros de longitud es apoyada sobre una pared vertical formando un ángulo de 60 grados con el piso, ¿a que altura del piso se encuentra ubicado el extremo superior de la escalera?

Solución:

Primero hacemos un dibujo que describa nuestro problema a resolver

Lo siguiente a pensar es encontrar una función trigonométrica que relacione el lado conocido (La Hipotenusa) y el lado que queremos calcular (El Cateto Opuesto), ya sabemos que esta función es el seno del angulo β = 60°

sen60°=H/3m

Para despejar primero transponemos los términos de la ecuación anterior

H/3m=sen60°

y luego pasamos 3m que divide a multiplicar al lado derecho

H=3m.sen60°

Usamos una calculadora para encontrar sen60°= 0,86 y reemplazamos

H=3m.o,86

H=2,58m

Ya sabemos que la escalera se encuentra a 2,58 m del suelo.

Tabla de derivadas

Si estás buscando las fórmulas de derivadas llegaste al lugar correcto.

Con esta tabla de derivadas podrás resolver casi cualquier problema de derivadas.

Clic aquí para descargar la tabla de derivadas en PDF

Integral por partes

En el método de integración por partes lo que se pretende es transformar una integral por otra que sea más fácil de integrar.

Solo para los curiosos vamos a ver de dónde sale la fórmula (Si no te interesa esta parte salta hasta la fórmula 1) Un tip valioso es que si te aprendes este sencillo proceso jamás vas a olvidar la fórmula.

Partamos de la fórmula de la derivada de un producto

Despejando queda así

Integrando a ambos lasos obtenemos

Simplificando esta expresión nos da la fórmula que debemos usar para integración por partes

Ejemplo:

Para entender cómo usar el método de integración por partes vamos a calcular la integral del logaritmo natural de x

Vamos a llamar una parte de la integral u(x) y la otra parte de la integral v(x), vemos que lo más conveniente es llamar u(x) a la función logaritmo natural y dv a dx

Reemplazando en la fórmula de integración por partes

Queda así

Simplificando nos da

Calculando la integral finalmente queda así

Aquí C es una constante de integración.

La integral definida

La integral definida de una función de un valor “a” a otro valor “b”, siempre que exista, es un número real.

El valor de “a” se llama el límite inferior y el valor de “b” se llama el límite superior de la integral.
La notación es la siguiente:

Como puede observarse en las integrales definidas su valor es independiente de la variable que elijamos, además cumple con esta propiedad que es bien interesante:

Lo que quiere decir que si intercambiamos los límites de integración la integral cambia de signo.

Teorema fundamental del cálculo:

Este teorema nos dice que si queremos evaluar una integral definida de una función f, basta con encontrar la antiderivada de la función f en el intervalo [a,b].

Si llamamos la antiderivada de f(x) en [a,b] F(x), se cumple que al derivar la función F(x) se obtiene la función f(x). Es decir: