Cálculo Integral

En el método de integración por partes lo que se pretende es transformar una integral por otra que sea más fácil de integrar.

Solo para los curiosos vamos a ver de dónde sale la fórmula (Si no te interesa esta parte salta hasta la fórmula 1) Un tip valioso es que si te aprendes este sencillo proceso jamás vas a olvidar la fórmula.

Partamos de la fórmula de la derivada de un producto

Despejando queda así

Integrando a ambos lasos obtenemos

Simplificando esta expresión nos da la fórmula que debemos usar para integración por partes

Ejemplo:

Para entender cómo usar el método de integración por partes vamos a calcular la integral del logaritmo natural de x

Vamos a llamar una parte de la integral u(x) y la otra parte de la integral v(x), vemos que lo más conveniente es llamar u(x) a la función logaritmo natural y dv a dx

Reemplazando en la fórmula de integración por partes

Queda así

Simplificando nos da

Calculando la integral finalmente queda así

Aquí C es una constante de integración.

La integral definida de una función de un valor “a” a otro valor “b”, siempre que exista, es un número real.

El valor de “a” se llama el límite inferior y el valor de “b” se llama el límite superior de la integral.
La notación es la siguiente:

Como puede observarse en las integrales definidas su valor es independiente de la variable que elijamos, además cumple con esta propiedad que es bien interesante:

Lo que quiere decir que si intercambiamos los límites de integración la integral cambia de signo.

Teorema fundamental del cálculo:

Este teorema nos dice que si queremos evaluar una integral definida de una función f, basta con encontrar la antiderivada de la función f en el intervalo [a,b].

Si llamamos la antiderivada de f(x) en [a,b] F(x), se cumple que al derivar la función F(x) se obtiene la función f(x). Es decir:

La ecuación que nos permite calcular el valor de la integral definida usando el teorema fundamental del cálculo es:

La integral definida es la diferencia (Resta) de la antiderivada evaluada en el límite superior con la antiderivada evaluada en el límite superior.

Veamos un ejemplo:

Calcular

La función a integrar es

Su antiderivada es

Porque la derivada de F(x) es f(x)

Usamos la fórmula para la integral definida

Reemplazando queda